Kähler-Poisson Algebras

I denna avhandling introduceras Kähler-Poisson algebror och deras grundläggande egenskaper studeras. Motivationen till detta kommer från differentialgeometri där man kan visa att den metriska geometrin för en Kählermångfald kan formuleras i termer av Poisson algebran av släta funktioner på mångfalden. Det visar sig att man kan identifiera ett algebraiskt villkor i en Poissonalgebra (med en metrik) som gör det möjligt att formulera de flesta geometriska objekt på ett algebraiskt vis. Detta leder till definitionen av en Kähler-Poisson algebra, vilken utgörs av en Poissonalgebra och en metrik som tillsammans uppfyller ett kompatibilitetsvillkor. Vi visar att för varje Kähler-Poisson algebra så existerar det en Levi-Civita förbindelse på modulen som utgörs av de inre derivationerna, och att den tillhörande krökningsoperatorn har alla de klassiska symmetrierna. Vidare presenteras en konstruktion som associerar en Kähler-Poisson algebra till varje algebra i en stor klass av Poissonalgebror. Ur ett mer algebraiskt perspektiv så introduceras flera grundläggande begrepp, såsom morfier, delalgebror, direkta summor och tensorprodukter. Slutligen påbörjas en studie av modulirum för Kähler-Poisson algebror, det vill säga ekvivalensklasser av metriker som ger upphov till isomorfa Kähler-Poisson strukturer. Det visar sig att även i det enkla fallet med en Poisson algebra genererad av två variabler, så leder detta till ett icke-trivialt klassificeringsproblem.