Asymptotische Analysis: Zentrale Sätze und Anwendungen

Nach einer kurzen Einführung asymptotischer Konzepte werden dabei insbesondere asymptotische Entwicklungen und das Rechnen mit asymptotischen Entwicklungen thematisiert. Standardtechniken zum Beweis asymptotischer Formeln, wie die Methode von Laplace und die Methode des steilsten Abstiegs zur Abschätzung von komplexen Kurvenintegralen, werden an Beispielen diskutiert.

Ein immer wiederkehrendes Motiv ist dabei der Zusammenhang zwischen dem asymptotischen Verhalten einer Folge oder Funktion einerseits und analytischen Fortsetzungen eines über eine Transformation zugeordneten Objektes andererseits. Auf diese Weise werden Erzeugendenfunktionen thematisiert und genutzt, um Rekursionsgleichungen zu lösen.

Weiter wird die Theorie der Laplace- und Mellintransformation aufgebaut, um Differentialgleichungen zu verstehen und einfache Abelsche und Taubersche Sätze formulieren zu können. Anschließend werden Dirichletreihen zur Untersuchung zahlentheoretischer Funktionen und zum Beweis des Primzahlsatzes genutzt.

Ergänzend dazu werden in einem letzten Kapitel analytische Störungsresultate für Nullstellen von Polynomen sowie für Eigenwerte behandelt und Differentialgleichungen mit regulären und irregulären singulären Punkten diskutiert und das asymptische Verhalten von Lösungen in der Nähe dieser Punkte untersucht.